수치 계산 - 통계 소개

수치계산수치계산 2. 계승(!)의 계산 ▣ 계승(!, factorial) 계산하는 문제 ... . .. . 0 , 1,...1 ,)!1(* ! nnnnnn . f(n) 이 n!을 계산해주는 함수라면 다음과 같이 정의 됨 . ... . .. . 0 , 1,...1 ,)1( )( nnnnfnf . 예를 들어 3!을 계산해보면 f(3)=3*f(2)=3*2*f(1)=3*2*1*f(0)=3*2*1*1=6 2. 계승(!)의 계산 ▣계승의 연산의 3가지 방법 .if 문을사용하여입력한값이0보다작다면1로f(2)=1 로정의하고1보다는클경우(else) 에는n*f2(n-1) 의연산.if 문을사용하여입력한값이0과같다면위의f3로재귀시키며그렇지않을경우에는n*f3(n-1) 연산을수행한다. 2. 계승(!)의 계산 ▣계승을 구하는 문제 .if 문을이용하여입력된상수n이0이라면f(1) 인함수로재귀. .입력된상수가1이상일경우for 문을이용하여1:n까지의수를생성하고fact*i 를n번까지반복한후마지막에저장된fact값을재귀. 3. Fibonacci 수열 ▣ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 이와 같은 수열을 Fibonacci 수열이라고 함 ... . .... . 2 1, , 1... ,5 ,4 ,3 ),2()1( )( nnnfibnfibnfibfib(n) fib(n-1) fib(n-2) fib(n-2) fib(n-3) fib(n-3) fib(n-4) fib(n-3) fib(n-4) fib(n-4) fib(n-5) fib(n-4) fib(n-5) fib(n-5) fib(n-6) fibonacci 수열의전개도 3. Fibonacci 수열 ▣반복코드를 이용한 Fibonacci 수열 .if 문을이용하여입력된상수n이1 or 2 이라면f(1) 인함수로재귀. .입력된상수가3이상일경우fib=0, prev1=1, prev2=1 초기화.for 문을3부터n까지수를생성한후그다음의문장을반복실행Ex) n=3 일경우fib=1+1 , prev1=1, prev2=2, 출력결과는2 Ex) n=4 일경우fib=1+2, prev1=2, prev2=3, 출력결과는3 Ex) n=5 일경우fib=2+3, prev1=3, prev2=5, 출력결과는5 4. 비선형 방정식의 해법 ▣ 비선형 방정식의 근을 구하는 방법 a. 함수 f(x)가 주어진 구간에서 연속임을 가정한다 . b. 근을 추적하기 위해 알려진 구간 [x0, x1]을 이용하거나 , 출발점 x0 을 임의로 설정하여야 한다 . c. 방정식의 모든 실수해를 찾는 사실을 보장하지는 못하고 , 하나의 해를 찾는다 . d. 만일 근을 찾을 경우 대략적인 근사치의 해를 의미한다 . 4.1 이분법 ▣ 이분법은 구간 [a,b] 안에 방정식의 근 이 존재하며 f(a)*f(b)<0을 만족한다는 사실에 근거 , 초기 구간 [x0, x1]을 주고 구간의 크기를 절반씩 줄여가면서 실 제 근에 수렴하도록 하는 방법이다 . 출력에러메시지 2020 fxfxxx . . 2 Returnx ▣ Algorithm 1. 초기구간 을 주고 인지를 확인한다 . 2. 조건을 만족하면 구간의 크기를 절반으 로 줄인다 . 3. 오차한도를 만족할 때까지 반복하여 실 제해의 근사값를 구한다 . 입력오차한도초기구간 . ],[ 10xx )( )( 1100xffxxffx . . 010..fxfx2/)(102xxx....오차 )(22xffx. 020..fxfx2121 fxfxxx . . No No No Yes Yes Yes 4.1 이분법 ▣이분법의문제점발생예 )(xf0x1x)(xf)(xf0x1x)(xf0x1x(a) 여러해가존재(b) 중근이존재(c) 무한불연속함수 4.1 이분법 .이분법의의한수치계산.3개의모수x0, x1, epsilon 이존재. .x0, x1는두개의초기값, epsilon 은아주작은값.ex)3 의제곱근값을구함 4.2 뉴턴법 ▣ 뉴턴법에 의한 비선형 방정식 해법 과정 일때 x의 값을 구한 과정을 반복시행 ▣ 테일러 전개 )())((')(000xfxxxfxf... .0,1,n xfxfxxnnnn...., )(' )( 1.......200000)( !2)(" ))((')()(xxxfxxxfxfxf ))((')()(0000xxxfxfxf....)(xf0x1x2x3x식통과하는을이고기울기가접선은이주어지면가초기치가 ))(,( )(' 0000xfxxfx 0)(0.xf )(' )( 000xfxfxx.. 5.2 뉴턴법 ▣ 뉴턴법에 의한 비선형 방정식 프로그램 dxfdxfLimxfd)()( )( 0 .. .. . 6.1 직사각형 수치적분 .임의의구간(a=x0 ,b=x n)의적분을가정할경우n은구간(a,b)를몇개의사각형으로자르는지를의미함.구간(a,b)에서(b-a)/n 은사각형의개수가되고이를h라표현함.사각형의면적은밑변*높이.밑변: h , 높이: x0+i .하나의사각형의넓이는h * xi 6.1 직사각형 수치적분 .f=function : 표준정규분포함수.Intergal 이란사용자함수를만들어직사각형의밑변인h를(b-a)/n 와같이구함.for 문을이용하여x1 부터x n-1 까지생성하고주어진함수에서높이를계산한후h를곱하여면적을구함.sum을통하여각각의직사각형의면적을더함 6.2 사다리꼴법 <사다리꼴공식> <복합사다리꼴공식> ▣ 사다리꼴의 너비 첫 번째 구간 (f0 + f1)*h/2, n=(b-a)/h, 구간 (a,b) 사이의 적분 ])(2[ 21)(1210nnbafffffhdxxf............. (사다리꼴공식의주오차항) f(x)가 n차 미분 가능한 함수 bafabhxfbfafhdxxfniiba ... . .. . . . . . ..... . . .. ,)(" 12)( )(2)()( 2)( 211고차항 6.2 사다리꼴법 ▣ f(x)가 표준정규분포일때 )1)( 2exp( 21)("22 ...xxxf . [0,1] 에서 | f''(x) |의 최대값 , x=0일때 . . 21121)(")( 1222nfabh .. 오차한도 이 주어졌을 때 n .2/1 nn ... . .. . .. 2208.30121121 . . .. 오차한도가 1e-4 로 주어졌을 때 ne .... . .. . .. 23.184108.30121 ▣즉, [0, 1] 을 19개의 소구간으로 나누어 사다리꼴 공식을 적합 6.2 사다리꼴법 ▣ Algorithm 1. 적분하한치 a, 상한치 b, 구간수 n, 허용오차 ε을 입력한다 . 2. 를 계산한다 . .. . .. . ...... . . 11)()()( 2niihafbfafhI 3. ....nnII1이면 중단하고 , 그렇지 않으면 n을 n+1로 증가 치환한 후 단계 2로 갈 수도 있다 . 6.2 사다리꼴법 .사다리꼴법에의한적분을함수로표현.표준정규분포에서구간(-1,1) 의확률을계산하여이를Trapezoid 함수에적용시킨것. 또한pnorm 함수와비교. 6.3 Simpson 적분 ▣ f0 -f1-f2 을 2차함수로 근사 방정식유일한통과하는를세점 ))f(,( )),(,( )),(,( 1122iiiiiixxxfxxfx.... ▣빗금친면적 hxxhxxhxxxxiiiiiiiicxxbxadxcbxaxdxxfdxxf223222222222123 )( )()( . . . . . . . . .. .. . .. . ... ... . . .. 6.3 Simpson 적분 ▣ 의 곡선식 x가 .h, 0, h인 경우 22211020 : , : ,0 : , ycbhahyyhxycyyxycbhahyyhx ..... ... ...... ▣ 위의식정리 21022022222yyyahyycah ... ... 6.3 Simpson 적분 ▣ 위의식대입 )4( 31)62( 312101210yyyhyyyyhI....... ▣ 구간을 10개로 나눈 식 ▣ 위의 식 일반화 nniiniibaffffhdxxfI........... .. . 12112024[ 3)( 6.3 Simpson 적분 ▣ 따라서 전체 계산하여야 할 함수값은 f0, f1, ... ,f n 으로 n+1개 가 되며 , n은 항상 짝수 ▣ 심슨법에 의해 수치적분을 하였을 시 )()()( 180)(6)4( 4hOfabhdxxfba ........심슨적분값 ▣ Algorithm 1. 적분하한치 a , 상한치 b , 구간수 n, 허용오차 ε 을 입력한다 . 2. 를 계산한다 n)/a-b=(h,단. .. . .. . ......... . . . . 1222)(2)(4)()( 3niniihafihafbfafhI 3. ....nnII1이면 중단하고 , 그렇지 않으면 n을 n+1 로 증가 치환한 후 단계2로 갈 수도 있다 . 6.3 Simpson 적분 .심슨방법에의한적분을함수로표현.표준정규분포에서구간(-1,1) 의확률을계산하여이를simpson 함수에적용시킨것. .또한, 구간(3,4) 의정규확률을사다리꼴법, 심슨법, pnorm 함수의값과비교