Negative and zeroth-order resonator & Fundamental aspects of leaky-wave structures

5.5 Negative and zeroth-order resonator 5.5.1 Principle 전통적인 PRH distributed resonator 에서 공진 주파수 ωm은 아래식이 만족하는 경우의 주파 수에 일치한다 . CRLH TL resonator 의 특성은 앞의 PRH 경우와 다르다 . CRLH TL 은 β=0 (transition frequency) 과 β<0 (LH range) 의 상태를 가질 수 있다 . 따라서전기적길이 lm... 이 0 또는 (-) 가 될 수도 있다 . 결론적으로, CRLH TL resonator 와 PRH TL resonator 의 차이는 다음과 같다 . . 전통적인 positive resonance (m>0) 에 덧붙여 negative resonance (m<0, and m=0) 이 존재한다. . m=0 인 경우를 제외하고 각각의 모드 (m) 은 반대 부호 (-m) 의 모드와 field distribution 이 일치한다. 그러므로 각 쌍은 (-m, m) 같은 impedance 를 가진다 . 이 특성은 dual-band CRLH antenna 를 만들기 위해 활용된다 .(6.7 장에서) . CRLH dispersion curve 의 비선형 특성 때문에 , 특히 LH range 에서, resonant frequency 는 harmonic ratios 가 아니다 .( and ) Resonance spectrum 의 강한 압축이 low frequency 에서 얻어진다 . . m=0 모드는 특히 흥미롭다 : 이 모드는 flat field distribution(no voltage gradient) 에 일치 하고 그러므로 TL의 물리적인 길이와 관계가 없다 . 따라서 이는 이론적으로 마음대로 작은 resonator 를 제작할 수 있는 것을 나타낸다 . 5.5.2 LC Network Implementation 사실상 어떠한 continuous distributed CRLH 도 쉽게 이용할 수 없기 때문에 CRLH TL resonator 는 LC network 구조의 형태로 사용된다 . Ideal homogeneous CRLH TL 과 LC network CRLH TL 의 본질적인 차이는 전자의 경우에 는 bandwidth 가 무한대이고 , 후자의 경우에는 한계가 있다는 것이다 . 결론적으로, LC network CRLH TL resonator 는 유한한 수의 resonance frequency 가 존재한다는 것이다 . 위의 그림에서 속이 빈 동그라미 부분은 Brillouin zone 의 edge 에 위치한 주파수들로 Bragg frequency 와 일치하기 때문에 resonance frequency 를 제공하지 않는다 . 5.5.3 Zeroth-Order Resonator Characteristics Unbalanced CRLH TL 의 경우에는 matched load 에 의해 terminated 되었을 때 두개의 resonance frequency ωse 와 ωsh 가 존재한다 . 이 경우에서부터 TL이 open-ended 또는 short-ended 형태의 resonator 를 형성할 때 어떠 한 일이 발생하는지를 알아본다 . 1. open-ended 경우 Open-ended 경우에 input impedance Zin은 아래와 같다 . 위의 식에서 Y는 CRLH unit cell 의 admittance 이다. 위의 결과는 open ended 의 input impedance 가 anti-resonant LL/CR shunt tank 의 impedance 에 1/N 배가 되는 것을 나타낸다 . N이 정수이고 , susceptance 에 영향을 미치지 않기 때문에 전체 resonator 의 resonance 는 admittance Y 의 resonance 와 같다 . 따라서 하나의 resonance frequency 가 존재한다 . 에서는 어떠한 resonance 도 발생하지 않는다 . 2. short-ended 경우 이 경우의 input impedance Zin은 아래와 같다 . Z는 CRLH unit cell 의 impedance 이다. 위의 결과는 short-ended 의 input impedance 는 resonant LR/CL shunt tank 의 impedance 에 N배가 되는 것을 보여준다 . N은 정수이고 , reactance 에 영향을 미치지 않기 때문에 전체 resonator 의 resonance 는 series impedance Z 의 resonance 와 같다 . Resonance frequency 는 하나이고 식은 아래와 같다 . 에서는 어떠한 resonance 도 발생하지 않는다 . Balanced resonance 의 특별한 경우에는 zeroth-order resonance 가 open-ended 와 short-ended 모두 발생한다 . Zeroth-order resonator 의 특징은 , open-ended 또는 short-ended 의 경우에 , resonance frequency 가 오직 circuit element LR/CL 또는 LL/CR에만 의존하고 resonator 의 물리적 길이 와는 상관이 없다는 것이다 . 따라서 in-plane 기술을 vertical 기술로 바꾸게 되면 resonator 의 전체 길이를 감소시킬수 있지만 , resonance 에는 영향을 미치지 않게 된다 . Zeroth-order resonant 상태에서의 CRLH TL resonator 에서 loss mechanism 또한 infinite wavelength 때문에 전통적인 resonator 의 loss mechanism 과는 다르다 . Open-ended 의 경우 , input impedance 는 unit cell 의 shunt tank circuit 의 impedance 에 1/N 배 이므로 , 등가적인 LCG 값은 아래 그림의 값들과 같다 . 따라서 unloaded Q-factor 는 아래 식으로 얻어진다 . 앞의 결과에서부터 unloaded Q-factor 는 오직 shunt tank circuit 의 loss G 에만 의존하는 것 을 확인할 수 있다 . 그 이유는 , zeroth-order resonance 에서는 infinite-wavelength 의 wave 때문에 resonator 의 node 사이에서 voltage gradient 가 존재하지 않기 때문에 series resistor R 을 통해서는 어떠 한 전류도 흐르지 않기 때문이다 . 그러나, nonzero voltage node 와 ground node 사이에는 전 류가 흐를 수 있기 때문에 , Q-factor 는 오직 shunt tank circuit 의 G에만 의존하는 것이다 . Short-ended 경우의 unloaded Q-factor 도 open-ended 경우와 유사하다 . 위의 경우에는 Q가 series resistance R 에만 의존하는 것을 볼 수 있다 . Zeroth-order resonator 의 주목할 만한 특성은 앞의 두 경우 모두 Q-factor 가 unit cell 의 수와는 무관하다는 것이다 . 따라서 resonator 의 길이 l에도 무관하고 , 결론적으로 전통적인 resonator 보다 더 높은 Q값을 가질 수 있게 된다 .(series and shunt loss contribution 중오 직 하나만이 Q에 영향을 미치기 때문 ) 5.5.4 Circuit Theory Verification 5.5.5 Microstrip Realization 6.1 Fundamental aspects of leaky-wave structures 6.1.1과 6.1.2 는 전통적인 leaky-wave structure 의 기본적인 관점의 요약이고 , 6.1.3 은 MTM 과 전통적인 LW structure 의 유사점과 차이점을 알아보게 된다 . 6.1.1 Principle of Leakage Radiation Leaky wave structure 는 하나 또는 몇 개의 leaky wave 를 supporting 하는 구조이다 . 이 구조는 일반적으로 안테나로서 사용되고 , leakage 현상은 높은 directivity 와 연관된다 . LW antenna 는 기본적으로 resonating antenna 와 차이점이 존재한다 . LW antenna 는 resonating-wave 방식과는 다른 traveling-wave 에 기반을 두고 있고 따라서 크기는 동작 frequency 와 관련이 없다 . LW structure 의 schematic 표현은 아래 그림과 같다 . 아래에서 자유공간에서 leaky wave 의 일반적인 wave form 은 다음과 같다 . 위의 식에서 k0는 자유공간에서의 파수 (ω/c), β는 Z방향의 propagation constant, ky는 Z방향에 수직인 propagation constant 이다. 앞의 관계식들은 아래의 두 가지 가능한 상황을 말한다 . 첫째로, 만일 wave 가 빛의 속도보다 느리다면 (v< c 또는 β > k0), perpendicular propagation constant 는 허수가 되고 (ky=jIm(ky), 그러므로경계(p) 면으로부터 y축을 따라 지수적으로 감소한 다.( , with Im(ky)<0) 둘째로, 만일 wave 가 빛의 속도보다 빠르다면 (v> c 또는 β < k0), perpendicular propagation constant 는 실수가 되고 (ky=Re(ky)=q), 그러므로(p) y축을 따라 진행하게 되고 leakage radiation 이 발생하게 된다 . 따라서 slow wave 는 guided wave 이고, fast wave 는 leaky wave 이다. 아래 그림은 앞의 두 경우에 대한 dispersion diagram 을 나타낸 것이다 . 아래 그림에서 ββc인 조건을 radiation region 또는 radiation cone 이라고 한 다. 위의 그림에서 cone 안쪽으로 어떠한 waveguide structure 의 dispersion diagram 이들 어오게 되면 LW structure 가 되고 , cone 내부의 주파수에서 안테나로서 사용할 수 있다 . 앞의 그림에서 β는 main beam 의 방사각 θMB에 의해 아래의 식과 같이 결정된다 . 또한 main beam 의 폭도 아래와 같이 계산할 수 있다 . 위의 식에서 β가 ω에 nonlinear 하다면 β/k0는 주파수에 따라 변하게 되고 따라서 main beam 의 angle또한 주파수에 대한 함수로서 나타난다 . 반면에 linear하다면 β=Aω가 되므로 β/k0는 Aω/(ω/c)=Ac 가 되어 상수가 되므로 main beam 의 angle 은 주파수와는 무관한 값이 된다 . 또한 β값이 -k0에서 k0의 범위까지 변한다면 radiation 의 angle 도 backfire(θMB=-90) 에서 endfire(θMB=90) 까지 변할수 있는 것을 알 수 있다 . 주파수가 변하게 되면 , main beam 의 폭 또한 broadside(θMB=0) 에서부터 backfire 또 는 endfire 를 향해 변하게 된다 . LW structure 의 다른 기본적인 quantity 는 leakage factor α이다. 보통 구조에서는 바람직하지 않은 감쇠 계수를 표현하지만 , LW antenna 에서는 명백히 필수 적인 parameter 이다. 왜냐하면 leakage factor 는 단위 길이 마다 radiation 되는 양을 나타내 기 때문이다 . 만일 leakage factor 가 작다면 , LW antenna 의 구조를 모든 power 가 누설되기 전에 길게 만 들 수 있다 . 그러므로 radiation aperture 는 크고 high-directivity 가 얻어진다 . 반대로 클 경우에는 , 모든 power 는 짧은 거리를 진행한 후 모두 누설되고 작은 radiation aperture 때문에 beam 은 뚱뚱해진다 . 대부분의 LW structure 는 상대적으로 작은 leakage factor 를 가지고 있고 (일반적으로 α/k0<0.05) 따라서 highly directive 가 된다 . 실제로, LW antenna 는 보통 power 의약 90%가 radiate 되게 디자인되고 , 이 경우는 00/ 18.0kl .. . 의 전기적 길이와 일치하게 된다 . 나머지 10%는 matched load 에 의해 흡수된다 . 위의 공식은 예를 들어 , 의 비율이 의 전기적 길이와 일치하는 것을 나 타낸다. 이는 resonant-type antenna(ex. Patch antenna) 보다 훨씬 더 큰 radiation aperture 를 나타내게 되고 , resonant structure 와 비교하여 LW structure 의 우수한 directivity 를 설명한다 . 결론적으로, 1D leaky-wave structure 는 fan beam, 즉 scan plane 에서는 좁고, transverse plane 에서는 뚱뚱한 beam 을 형성한다 . 몇몇의 1D LW antenna 가 결합되면 pencil beam 을 만들고 , 부가적으로, LW structure 의 plane 에서 frequency scanning 과 transverse plane 에서 electronic scanning( 일반적으로 전통적인 array phase shifter 에서 사용되는 )을 사용하여 2D scanning capability 를 제공한 다. 6.1.2 Uniform and Periodic Leaky-Wave Structure LW structure 는 두 종류로 분류될 수 있다 : uniform and periodic LW structure. 6.1.2.1 Uniform LW Structure Uniform LW structure 는 propagation 의 방향을 따라 불변하는 cross section 을 가지거나 또는 propagation 방향을 따라 cross section 의 small, smooth, and continuous variation(taper) 을 가진 LW waveguide 를 뜻한다 . Uniform LW antenna 에서, 오직 structure 의 dominant mode( 여기서 dominant 의 뜻은 fast-wave 중 가장 낮은 주파수를 가지는 상태 )만이 propagate 되고 따라서 이 모드는 radiation 을 발생하기 위해 fast 가 된다 . 만일 structure가 PRH( 전통적인 uniform LW antenna 의 경우에서 )라면, 식으 로부터, 모든 frequency 에서 β>0이기 때문에 오직 forward angle 만이 얻어질 수 있다 . 덧붙여, broadside radiation 은 β=0에서 발생되는데 이 경우는 DC에서만 발생되기 때문에 broadside radiation 은 가능하지 않게 된다 . 이러한 angle-range 한계는 전통적인 uniform LW antenna 의 high-directivity 특성에도 불 구하고 흥미에 제한을 두게 한다 . Uniform LW antenna 의 다른 문제는 이 구조가 종종 복잡하고 비효율적인 feeding 구조, 원 하는 모드를 활성화하고 , lower-frequency 모드를 억제하는 선택성에서 , 를 필요로 하는 것 에 있다 . 이에 대한 예시가 아래에 나와있다 . perfectly uniform LW structure 는 structure의 방향에 따라 변하지 않는 complex propagation constant 를 가진다 . perfectly uniform propagation constant 는 주어진 structure length 에서 maximum directivity 가 바람직한 반면 , constant leakage factor 는 최적의 radiation performance 를 발생하지 않고 , line 을 따라 power 의지 수적인 감소는 structure 의 길이가 유한할 때 high sidelobe level 을 초래한다 . 그러므로, 상대적으로 변하지 않는 phase constant profile 을 유지하는 동안 sidelobe level 을 최소화하는 leakage factor profile α(z) 를 설계하기 위해 smooth-tapering 기술이 개발되었 다.(즉, LW antenna 에서는 α와 β값이 항상 독립적으로 컨트롤 될 수 없기 때문에 동시에 원 하는 radiation pattern 을 얻기가 불가능한 경우가 있다 . Radiation pattern 은 주로 α(z) 에의 해 결정되고 , frequency scanning relation 은 주로 β(ω)에 의해 결정된다 .) Radiation pattern 이 aperture distribution A(z) 의 Fourier transform 에 일치하는 사실에 기반 을둔 close-form formula 는 sidelobe 를 줄이고 원하는 radiation pattern 을 얻기 위해 확립 되었다. 이 공식은 아래와 같다 . P(l) 는 라인을 따라 진행하는 power 이다. Uniform LW structure 의 특성을 나타내기 위해 , 아래 그림의 microstrip LW antenna 를고 려한다. 위의 antenna에서, dominant leaky mode 는 odd mode 이고, balun 에 의해 excited 되 어있고, 전통적인 microstrip line 의 first higher-order mode 와 일치하고 , even/guided mode는 line의 중앙에 etched 된 주기적인 slot 에 의해 완전히 억제되어 있다 . 위 구조의 odd-mode configuration 때문에, 이 antenna는 line의 방향에 수직 편파를 나 타낸다. 위의 구조에서부터 복잡성 , feeding mechanism 의 비효율성 , balun 과 even- mode suppressor 가 모두 요구되는 점 등이 명백히 드러난다 . 아래 그림은 이 antenna의 β-α diagram 을 보여준다 . 위의 그래프에서 broadside radiation 이 나올 수 없는 것을 알 수 있다 . 또한 α가 매우 크게 되고 그러므로 작은 각도에서 directivity 가 매우 나쁜것을 알 수 있다 . 명백한 문제 점은 excitation balun 의 narrow-bandwidth 성질은 사용할 수 있는 bandwidth 에 한계 를 주게 되고 , 이는 이용할 수 있는 scanning range 에 더 많은 제한을 준다는 것이다 . 6.1.2.2 Periodic LW Structure Periodic LW structure 는 propagation 의 방향을 따라 주기적으로 modulated 되는 cross section 을 가지는 LW waveguide 이다. 주기성 때문에 , wave 는 Floquet expansion 의 형태 로 나타날 수 있고 , space harmonic 의 무한한 수의 superposition 에 의해 구성된다 . 이는 식 (6.3) 과 (6.4) 에 직접 대입할 수 있고 , 이로부터 어떤 space harmonic n 에서의 main beam 의 radiation angle 과 폭을 구할 수 있다 . Uniform LW antenna 와 대조적으로 , periodic LW structure 는 slow-wave/guided dominant mode 를 가지고 , radiation 은 total field 에서 하나 또는 몇몇의 fast-wave space harmonic 의 contribution 에서부터 얻어질 수 있다 . 또 다른 차이점은 negative space harmonic( 일반적으로 n=-1) 을 이용하여 backward radiation(θMB<0) 이 가능하다는 것이다 . 그러나, 전통적 주기 구조에서 β=0에서 gap 의 systematic presence 는 broadside radiation 을 막는다 . 그 이유는 gap edges 이 standing wave 와 연관있는 Bragg resonance 와 일치하 고, 오직 traveling wave 만이 leaky 될 수 있기 때문이다 . 이 gap 의 존재는 또한 backward 에서부터 forward angle 로의 연속적인 radiation 을 막는다 . 왜냐하면 gap 의 범위 내에서는 어떠한 radiation 도 발생되지 않기 때문이다 . Gap 이 상대적으로 작더라도 , backward 에서 forward angle 로 switching하는 것은 negative space harmonics 의 excitation 에서부터 positive space harmonic 으로 switching 되어야 하 고, 이는 field distribution, input impedance 등에서 아주 다른 형태를 가지게 된다 . 이러한 이유들로 인해 , periodic LW antenna 는 오직 backward angle 의 제한된 범위 또는 forward angle 의 제한된 범위에서만 radiate될 수 있다 .(broadside 는 제외 ) 6.1.3 Metamaterial Leaky-Wave Structure MTM LW structure 는 계산과 제조의 편의를 위해 주기적인 구조를 가진다 . 그러나, operation 을 위해서는 주기적인 것이 필요하지 않다 . 왜냐하면 주기적인 구성일 때 오직 fundamental mode 로만 사용되기 때문이다 . 반면에, 주기성은 주기적 LW structure 에서 leaky space harmonic 을 발생하기 위해 필수적 이다. MTM LW structure 는 effective-homogeneity 성질 때문에 본질적으로 uniform LW structure 로서 동작한다 . 그래서, MTM LW structure 는 구조적으로 주기적이지만 전자기적으로는 uniform LW structure 의 범주에 속하는 것으로 고려된다 . * Balanced CRLH TL Dispersion diagram clc; clear all; close all; f1=0; f2=10*10^9; step=(f2-f1)/100; f=f1:step:f2; bp1=-pi; bp2=pi; step2=(bp2-bp1)/100; bp=bp1:step2:bp2; [X,Y] = meshgrid(bp,f); a=1/2*((2*pi*Y*sqrt(2.5*10^-21)).^2+(1./(2*pi*Y*sqrt(2.5*10^-21))).^2-5*10^-21*(1/sqrt(2.5*10^21)^ 2)); Z=cos(X)-1+a; contour(X,Y,Z,[-0.0001,0.0001]); hold on; [X,Y] = meshgrid(bp,(0:step:3.18*10^9)); Z=-sqrt((2*pi*Y*sqrt(2.5*10^-21)).^2+(1./(2*pi*Y*sqrt(2.5*10^-21))).^2-5*10^-21*(1/sqrt(2.5*10^21)).^ 2)-X; contour(X,Y,Z,[-0.0001,0.0001]); [X,Y] = meshgrid(bp,(3.18*10^9:step:10^10)); Z=sqrt((2*pi*Y*sqrt(2.5*10^-21)).^2+(1./(2*pi*Y*sqrt(2.5*10^-21))).^2-5*10^-21*(1/sqrt(2.5*10^21)).^ 2)-X; contour(X,Y,Z,[-0.0001,0.0001]); xlabel(‘βp'),ylabel('frequency (GHz)'); title('Balanced CRLH TL Dispersion diagram'); * 사용된 수식과 소자 값 βh: : βbal * Unbalanced CRLH TL Dispersion diagram clc; clear all; close all; f1=0; f2=10*10^9; step=(f2-f1)/100; f=f1:step:f2; bp1=-pi; bp2=pi; step2=(bp2-bp1)/100; bp=bp1:step2:bp2; [X,Y] = meshgrid(bp,f); a=1/2*((2*pi*Y*sqrt(2*10^-21)).^2+(1./(2*pi*Y*sqrt(1.875*10^-21))).^2-4*10^-21*(1/sqrt(1.875*10^21)^ 2)); Z=cos(X)-1+a; contour(X,Y,Z,[-0.0001,0.0001]); hold on; [X,Y] = meshgrid(bp,(0:step:3.06*10^9)); Z=-sqrt((2*pi*Y*sqrt(2*10^-21)).^2+(1./(2*pi*Y*sqrt(1.875*10^-21))).^2-4*10^-21*(1/sqrt(1.875*10^21)).^ 2)-X; contour(X,Y,Z,[-0.0001,0.0001]); [X,Y] = meshgrid(bp,(4.27*10^9:step:10^10)); Z=sqrt((2*pi*Y*sqrt(2*10^-21)).^2+(1./(2*pi*Y*sqrt(1.875*10^-21))).^2-4*10^-21*(1/sqrt(1.875*10^21)).^ 2)-X; contour(X,Y,Z,[-0.0001,0.0001]); xlabel(‘βp'),ylabel('frequency (GHz)'); title('Unbalanced CRLH TL Dispersion diagram'); * 사용된 수식과 소자 값 βh: : βunbal