디지털 신호처리 및 필터 설계

디지털 신호처리 및 필터 설계 3장. 주파수해석3.1 주파수해석 )()( )()( )( )( )()( ,)( system LTI),( 000)( TjnTjkkTjTjTjkkTjnTjkkTnTjnTjeHenTyekTheHeHekTheekThnTynenTxnTh .. .. . .. . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . 출력정의같이다음과를에서응답임펄스system 의주파수특성또는주파수응답이라고함. )()( )()( )( )( )()( ,)( system LTI),( 000)( TjnTjkkTjTjTjkkTjnTjkkTnTjnTjeHenTyekTheHeHekTheekThnTynenTxnTh .. .. . .. . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . 출력정의같이다음과를에서응답임펄스system 의주파수특성또는주파수응답이라고함. 주파수특성은 복소수로 표시되므로 , 진폭 및 위상특성 , 지연특성읁 가진다 . 지연특성 위상지연 : 시스템에서의 단일주파수 정현파 입력에 대한 지연시간 군지연 : 복수의 주파수를 가지는 정현파의 집. 입력 시 envelope 의 지연시간 . . .. .. . .. .. ddgp)( )( )( )(. . . 3.2 연속시간 푸리에 변환 1. 연속시간 푸리에 급수 ) ( ,2,2)( ,2,2)( 22)2cos()( 0000220)2/( )2/( 00경우사인파인 .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .... .. . . .. ffeAffeAfXffeAffeAfXeeAeeAtfAtxjjjjjtfjjtfj .. .. . . ...... 위와 같이 신호를 주파수의 함수로 표시한 것읁 신호의 스펙트럼이라 . . 정현파 신호의 스펙트럼읁 기본으로 일반적인 주기신호의 스펙트럼읁 구한 것읁 CTFS 라고 . . . . ,3,2,1,2sin)( 2,2,1,0,2cos)( 2)2sin2cos( 2)( 02/ 2/ 02/ 2/ 1000 .. .. ... . . . . . . . ntdtnftxTbntdtnftxTatnfbtnfaatxTTnTTnnnn . . .. 연속시간삼각함수푸리에급수(CTFS) 를일반적인주기신호에대해구할수있다. x(t) 를복소지수형태로바꾸어정리하면아래의복소형푸리에급수로전개된다. .. . ... . ... .. ntnfjnnntTjneXeXtx022)(. . .. .. 2/ 2/ 20)( 1TTtnfjndtetxTX. . . ,3,2,1,2sin)( 2,2,1,0,2cos)( 2)2sin2cos( 2)( 02/ 2/ 02/ 2/ 1000 .. .. ... . . . . . . . ntdtnftxTbntdtnftxTatnfbtnfaatxTTnTTnnnn . . .. 연속시간삼각함수푸리에급수(CTFS) 를일반적인주기신호에대해구할수있다. x(t) 를복소지수형태로바꾸어정리하면아래의복소형푸리에급수로전개된다. .. . ... . ... .. ntnfjnnntTjneXeXtx022)(. . .. .. 2/ 2/ 20)( 1TTtnfjndtetxTX. 2. 연속시간 푸리에 변환 주기신호의 스펙트럼은 크기 Xn의 펄스가 f0의 간격으로 나타난다 . .. . . ... . ... . .. .. . ntnfjnnntTjnftjeXeXtxfXdfefXtx0222)( :)( )()( . . .크기성분의주파수 위의 식읁 연속시간 푸리에 역변환이라 한다 . . . .. ..dtetxfXftj.2)()( 위의 식읁 연속시간 푸리에 변환 (CTFT) 라 한다 . 3.3 이산신호의 푸리에 변환 (DTFT) 1. 이산신호의 푸리에 변환 정의 연속신호를 수식으로 표현하는 것이 쉽지 않기 때문에 , 연속신호를 푸리에 변환읁 이용하여 해석하는 것은 불가능하다 . 이러한 신호들은 이산신호로 바꾸어 주파수 스펙트럼읁 구하면 편리하다 . 이산신호의 푸리에 변환 (DTFT) 는 다음과 같이 정의된다 . . . . ... . . ... . . . nnTjTjnnTjenTxeXenTxjX .. .. )()( n ,)()(정수은 푸리에 역변환은 다음과 같다 . 주기 sampling:,/2)( 1)( 2/ 2/ TTdejXnTxsnTjsss .. .. . . . . . ... 2. 연속신호와 이산신호의 푸리에 변환 관계 ) 2( 1)(. . ... ... maTmjjXTjX . . 3. 이산신호의 푸리에 변환 성질 1) 선형성 )()()( )()()( 2121TjTjTjebXeaXeXnTbxnTaxnTx ..... .. 2) 시간 추이 (time shifting) 3) 주파수 추이 (frequency shifting) 4) 변조(modulation) )( 21)( 21cos)()()( 000TjTjeXeXnTnTx......... 5) 컨벌루션 3.4 이산 푸리에 변환 1. 이산 푸리에 변환의 정의 이산 푸리에 변환 ..1,1,0,)()()( 102 ..... . . . NkenxnxDkXNnNnkj . . 이산 푸리에 역변환 ..1,,1,0,)( 1)()( 1021..... . . .NnekXNkXDnxNkNnkj . . 1,,1,0,)( 1)( 1,,1,0,)()( 10102 ... ... . . . . . . . . . NnWkXNnxNkWnxkXeWNkknNNnknNNjN . . . 회전인자WN을사용하면FFT 때편리함. 2. 이산 푸리에 변환 성질 1) 선형성 ..)()()()( )()()( 2121kbXkaXnxDkXnbxnaxnx ... .. 2) 주기성 1) 2exp( : )()()()( 1010)( . . . ...... . . . . . NrNnjWrkXWnxWnxrNkXrNnNnknNnnrNk . 정수임의의 3) 추이정리(shift theorem) )()()( )()]([ 101kXWnxWnxWkXmnxDNnknNaNanknNkmN .. .. .. . . .. .. 4) 시간영역 컨벌루션 5) 주파수영역 컨벌루션 . . . .. 10)1()( 1)]()([ NlkYlXNnynxD 6) 대칭성 7) 이산시간 푸리에 변환과 이산 푸리에 변환 관계 DFT-주파수축 표기가 k DTFT-주파수축 표기가 ω 3. 이산 푸리에 변환의 직접계산 N점 수열 {x(0), x(1), …, x(N -1)} 의 이산 푸리에 변환이 {X(0), X(1), …, X(N -1)} 일 경우 N점 이산 푸리에 변환이라 한다 .(DFT) 예를 들어 8점 DFT 인 경우 다음과 같이 직접 구할 수 있다 . . . . . 10)()( NnknWnxkX 49701420710)7()1()0()7( )7()1()0()2( )7()1()0()1( )7()1()0()0( WxWxWxXWxWxWxXWxWxWxXxxxX .... .... .... .... . . . . . 회전인자 Wkn은 N점 DFT 인 경우 N2의 연산을 필요로 한다 . . . .... .... .. 251791241680)( WWWWWWWWWWnNkkn 4. 이산 푸리에 변환과 스펙트럼 이산 푸리에 변환 X(k)에서 k가 0,1,2,3 읹 때 각각 X(k)는 직류 , 기본파,2 고조파,3고조파 성분읁 의미 한다. k값과 주파수의 관계를 알아보면 , X(k)에서 k의 변화에 상당하는 주파수 간격 혹은 주파수 분해능은 다음과 같다 . ][ 1HzNTf . .. 예를 들어 , T=0.02, N=100 이면 해석구간 T x N = 2[sec] 이면 이산 푸리에 변환의 주파수 간격은 0.5[Hz] 이다. 즉,k 와 주파수의 관계는 다음과 같다 . k=0읹 때 주파수는 0[Hz] k=1읹 때 주파수는 0.5[Hz] k=2 읹 때 주파수는 1[Hz] 이산 푸리에 변환에서는 추출한 신호를 주기신호로 가정하고 있다 . 이것이 스펙트럼에 미치는 영향은 다음과 같다 . (b)에서 불연속점의 영향으로 스펙트럼의 오차 (Gibbs 현상)가 발생한다 . 오차를 줄이기 위해 잘라낸 신호의 처음과 마지막 값읁 같게 해주어야 하고 이런 역할읁 window function 이라는 것읁 사용하여 수행하게 된다 . DTFT : 시간영역에서discrete, 주파수영역에서continuous DFT : 시간영역에서discrete, 주파수영역에서discrete, 주파수에서샘플링됨DTFT 로부터동일간격의주파수집합 . . ... .. nnTjenTxjX..)()(..1,1,0,)()()( 102 ..... . . . NkenxnxDkXNnNnkj . . kTeenTxeenTxeTNinxnTxTNinxnTxenTxjXiNiTjNnnTjNniNiTjnTjiNnTNinjnnTj . . . .. .. . . 2,)( )( ])[( )())((,:)( )()( 101010)( .. . .. ... .. .. .. . . ... . . . . . . . ... .. . ... . . .. . ... .주기함수 . . ... .. nnTjenTxjX..)()(..1,1,0,)()()( 102 ..... . . . NkenxnxDkXNnNnkj . . kTeenTxeenTxeTNinxnTxTNinxnTxenTxjXiNiTjNnnTjNniNiTjnTjiNnTNinjnnTj . . . .. .. . . 2,)( )( ])[( )())((,:)( )()( 101010)( .. . .. ... .. .. .. . . ... . . . . . . . ... .. . ... . . .. . ... .주기함수 추이정리(shift theorem) )()( )]([)()()( )()]([ 1010)( 1kXWWkXWanxDWWanxWanxWnxWkXmnxDkaNkaNkaNkaNNnknNNnankNaNanknNkmN .. ...... .. . .. . . . . . .. .. ... )()( )]([)()()( )()]([ 1010)( 1kXWWkXWanxDWWanxWanxWnxWkXmnxDkaNkaNkaNkaNNnknNNnankNaNanknNkmN .. ...... .. . .. . . . . . .. .. ... 대칭성